考研数学：6个大招！修炼矩阵求高次幂秘籍 - 中大考研论坛_中大考研_中大考研信息(kaoyansysu.com)

关于方阵的高次幂(求矩阵A的n次方这种)，是刷题中经常遇到的一种类型，有时候很简单的一个矩阵，它的高次幂却很难求，考研中对其考察的频率并不是很高。今天来理一下常用的几种方阵求高次幂的方法。

　　第一步最重要的是观察所给矩阵的特征，根据其“典型特征”选用不同的方法，这一步可以很好的理清思路，避免脑子里一团乱。

　　第一种，利用矩阵的迹求高次幂

　　适用情况：r(A)=1或矩阵的各行或各列成比例，这种矩阵一般可以化简成A=αTβ（即一个列向量与一个行向量的乘积的形式）

　　第二种，二项式展开法

　　适用情况：矩阵A是上（下）三角矩阵，且主对角线的元素全为1（注意这里只能是主对角线的元素全为1,不能是副对角线）

　　这样就可以把矩阵A拆成A=E+B，利用二项式展开求其幂。

　　这里有个小结论，如例题中的矩阵B，若矩阵主对角线都是0元素，且是上（下）三角阵，那么在求若干次幂之后，会变成0矩阵，这个大家可以自己去尝试一下。

　　第三种，利用自乘产生的递推式、数学归纳法

　　适用情况：矩阵中元素以0，正负1为主，且元素分布比较规律，例如对称分布，反对称分布。此类矩阵自乘一两次后会出现明显规律。

　　此类情况在自乘后产生递推规律，除了可以直接观察写出结论，也可以利用数学归纳法进行证明。

　　第四种，利用分块矩阵求幂

　　适用情况：矩阵的某一局部有0元素集中，且矩阵为四阶及以上的，一般高阶矩阵很容易就能看出是否能化成如下的分块矩阵。

　　第五种，利用相似性求幂

　　适用情况：实对称矩阵，且矩阵的元素不为0，正负1这些

　　实对称矩阵必可相似于对角阵，若用前面第三种方法来算，若矩阵元素不为0和1，运算起来又很麻烦且第三种方法发现不了明显规律，所以可以用对角阵来求幂。

　　第六种，利用特征值求幂

　　适用情况：此类求幂，并不是单纯的求矩阵的幂，其主要与特征值特征向量结合在一起，旨在考察对特征值定义的理解。

　　以上就是方阵高次幂的常用的几种解法了，考研考察的范围基本也在上面六种之中，其中第三种利用递推式、数学归纳法是属于较难的那种，其余的也就是计算量略大。